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设x为n维列向量，x′x＝1，令H＝E－２xx′.求证H是对称的正交矩阵.

∴ H为对称矩阵.

∴ H是对称正交矩阵.
7.　 设A与B都是n阶正交矩阵，证明AB也是正交矩阵.
【证】A与B为n阶正交矩阵 A′A=EB′B=E
(AB)(AB)′=AB•(B′A′)=A(BB′)A′=AEA′=AA′=E
∴ AB也是正交矩阵.
8.　判断下列命题是否正确.
(1) 满足Ax＝ x的x一定是A的特征向量；
(2) 如果x1，…，xr是矩阵A对应于特征值 的特征向量.则k1x1＋k2x2＋…＋krxr也是A对应于 的特征向量；
(3) 实矩阵的特征值一定是实数.
【解】
(1) ╳.Ax= x,其中当x=0时成立，但x=0不是A的特征向量.
(2) ╳.例如：E3×3x= x特征值 =1, 的特征向量有
则 不是E3×3的特征向量.
(3) ╳.不一定.实对称矩阵的特征值一定是实数.
9. 求下列矩阵的特征值和特征向量.